Данным, полученным в результате эксперимента, свойственна изменчивость, которая может быть вызвана случайной ошибкой: погрешностью измерительного прибора, неоднородностью образцов и т.д. После проведения большого количества однородных данных экспериментатору необходимо их обработать для извлечения как можно более точной информации о рассматриваемой величине. Для обработки больших массивов данных измерений, наблюдений и т.п., которые могут быть получены при проведении эксперимента, удобно применять методы математической статистики .
Математическая статистика неразрывно связана с теорией вероятностей, но между этими науками есть существенное различие. Теория вероятностей использует уже известные распределения случайных величин , на основе которых рассчитываются вероятности событий, математическое ожидание т.д. Задача математической статистики – получить как можно более достоверную информацию о распределении случайной величины на основе экспериментальных данных.
Типичные направления математической статистики:
- теория выборок;
- теория оценок;
- проверка статистических гипотез;
- регрессионный анализ;
- дисперсионный анализ.
Методы математической статистики
Методы оценки и проверки гипотез основываются на вероятностных и гиперслучайных моделях происхождения данных.
Математическая статистика оценивает параметры и функции от них, которые представляют важные характеристики распределений (медиану, математическое ожидание, стандартное отклонение, квантили и др.), плотности и функции распределения и пр. Используются точечные и интервальные оценки.
Современная математическая статистика содержит большой раздел – статистический последовательный анализ , в котором допускается формирование массива наблюдений по одному массиву.
Математическая статистика также содержит общую теорию проверки гипотез и большое количество методов для проверки конкретных гипотез (например, о симметрии распределения, о значениях параметров и характеристик, о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения, гипотеза проверки однородности (совпадение характеристик или функций распределения в двух выборках) и др.).
Проведением выборочных обследований , связанных с построением адекватных методов оценки и проверки гипотез, со свойствами разных схем организации выборок, занимается раздел математической статистики, имеющий большое значение. Методы математической статистики непосредственно использует следующие основные понятия.
Выборка
Определение 1
Выборкой называются данные, которые получены при проведении эксперимента.
Например, результаты дальности полета пули при выстреле одного и того же или группы однотипных орудий.
Эмпирическая функция распределения
Замечание 1
Функция распределения дает возможность выразить все важнейшие характеристики случайной величины.
В математической стаитистике существует понятие теоретической (заранее не известной) и эмпирической функции распределения.
Эмпирическая функция определяется по данным опыта (эмпирические данные), т.е. по выборке.
Гистограмма
Гистограммы используются для наглядного, но довольно приближенного, представления о неизвестном распределении.
Гистограмма представляет собой графическое изображение распределения данных.
Для получения качественной гистограммы придерживаются следующих правил :
- Количество элементов выборки должно быть существенно меньше объема выборки.
- Интервалы разбиения должны содержать достаточное число элементов выборки.
Если выборка очень большая зачастую интервал элементов выборки разбивают на одинаковые части.
Выборочное среднее и выборочная дисперсия
С помощью данных понятий можно получить оценку необходимых числовых характеристик неизвестного распределения, не прибегая к построению функции распределения, гистограммы и т.п.
Математическая статистика - это раздел математики, изучающий приближенные методы сбора и анализа данных по результатам эксперимента для выявления существующих закономерностей, т.е. отыскания законов распределения случайных величин и их числовых характеристик.
В математической статистике принято выделять два основных направления исследований :
1. Оценка параметров генеральной совокупности.
2. Проверка статистических гипотез (некоторых априорных предположений).
Основными понятиями математической статистики являются: генеральная совокупность, выборка, теоретическая функция распределения.
Генеральной совокупностью является набор всех мыслимых статистических данных при наблюдениях случайной величины.
Х Г = {х 1 , х 2 , х 3 , …, х N , } = { х i ; i=1,N }
Наблюдаемая случайная величина Х называется признаком или фактором выборки. Генеральная совокупность - есть статистический аналог случайной величины, ее объем N обычно велик, поэтому из нее выбирается часть данных, называемая выборочной совокупностью или просто выборкой.
Х В = {х 1 , х 2 , х 3 , …, х n , } = { х i ; i=1,n }
Х В Ì Х Г, n £ N
Выборка - это совокупность случайно отобранных наблюдений (объектов) из генеральной совокупности для непосредственного изучения. Количество объектов в выборке называется объемом выборки и обозначается n. Обычно выборка составляет 5%-10% от генеральной совокупности.
Использование выборки для построения закономерностей, которым подчинена наблюдаемая случайная величина, позволяет избежать ее сплошного (массового) наблюдения, что часто бывает ресурсоемким процессом, а то и просто невозможным.
Например, популяция представляет собой множество индивидуумов. Изучение целой популяции трудоемко и дорого, поэтому собирают данные по выборке индивидуумов, которых считают представителями этой популяции, позволяющими сделать вывод относительно этой популяции.
Однако, выборка обязательно должна удовлетворять условию репрезентативности , т.е. давать обоснованное представление о генеральной совокупности. Как сформировать репрезентативную (представительную) выборку? В идеале стремятся получить случайную (рандомизированную) выборку. Для этого составляют список всех индивидуумов в популяции и случайно их отбирают. Но иной раз затраты при составлении списка могут оказаться недопустимыми и тогда берут приемлемую выборку, например, одну клинику, больницу и исследуют всех пациентов в этой клинике с данным заболеванием.
Каждый элемент выборки называется вариантой . Число повторений варианты в выборке называется частотой встречаемости . Величина называется относительной частотой варианты, т.е. находится как отношение абсолютной частоты варианты ко всему объему выборки. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом .
Рассмотрим три формы вариационного ряда: ранжированный, дискретный и интервальный.
Ранжированный ряд - это перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания изучаемого признака.
Дискретный вариационный ряд представляет собой таблицу, состоящую из граф, либо строк: конкретного значения признака х i и абсолютной частоты n i (или относительной частоты ω i) проявления i-го значения признака x.
Примером вариационного ряда служит таблица
Написать распределение относительных частот.
Решение : Найдем относительные частоты. Для этого разделим частоты на объем выборки:
Распределение относительных частот имеет вид:
| 0,15 | 0,5 | 0,35 |
Контроль: 0,15 + 0,5 + 0,35 = 1.
Дискретный ряд можно изобразить графически. В прямоугольной декартовой системе координат отмечаются точки с координатами () или (), которые соединяются прямыми линиями. Такую ломаную называют полигоном частот.
Построить дискретный вариационный ряд (ДВР) и начертить полигон распределения 45 абитуриентов по числу баллов, полученных ими на приемных экзаменах:
39 41 40 42 41 40 42 44 40 43 42 41 43 39 42 41 42 39 41 37 43 41 38 43 42 41 40 41 38 44 40 39 41 40 42 40 41 42 40 43 38 39 41 41 42.
Решение : Для построения вариационного ряда различные значения признака x (варианты) располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем его частоту.
Построим полигон этого распределения:
Рис. 13.1. Полигон частот
Интервальный вариационный ряд
используется при большом числе наблюдений. Для построения такого ряда надо выбрать число интервалов признака и установить длину интервала. При большом числе групп величина интервала будет минимальна. Число групп в вариационном ряду можно найти по формуле Стерджеса : 
(k-число групп, n - объем выборки), а ширину интервала - 
где - максимальное; - минимальное значения вариант, а их разность R носит название размаха вариации .
Исследуется выборка из 100 человек из совокупности всех студентов медицинского ВУЗа.
Решение : Рассчитаем число групп: . Таким образом, для составления интервального ряда данную выборку лучше разбить на 7 или 8 групп. Совокупность групп, на которые разбиваются результаты наблюдений и частот получения результатов наблюдений в каждой группе, называют статистической совокупностью .
Для наглядного представления статистического распределения пользуются гистограммой.
Гистограмма частот - это ступенчатая фигура, состоящая из смежных прямоугольников, построенных на одной прямой, основания которых одинаковы и равны ширине интервала, а высота равна или частоте попадания в интервал или относительной частоте ω i .
Наблюдения за числом частиц, попавших в счетчик Гейгера, в течение минуты дали следующие результаты:
21 30 39 31 42 34 36 30 28 30 33 24 31 40 31 33 31 27 31 45 31 34 27 30 48 30 28 30 33 46 43 30 33 28 31 27 31 36 51 34 31 36 34 37 28 30 39 31 42 37.
Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами (I интервал 20-24; II интервал 24-28 и т.д.) и начертить гистограмму.
Решение : n = 50
Гистограмма этого распределения имеет вид:
Рис. 13.2. Гистограмма распределения
Варианты заданий
№ 13.1. Через каждый час измерялось напряжение тока в электросети. При этом были получены следующие значения (В):
227 219 215 230 232 223 220 222 218 219 222 221 227 226 226 209 211 215 218 220 216 220 220 221 225 224 212 217 219 220.
Построить статистическое распределение и начертить полигон.
№ 13.2. Наблюдения за сахаром крови у 50 человек дали такие результаты:
3.94 3.84 3.86 4.06 3.67 3.97 3.76 3.61 3.96 4.04
3.82 3.94 3.98 3.57 3.87 4.07 3.99 3.69 3.76 3.71
3.81 3.71 4.16 3.76 4.00 3.46 4.08 3.88 4.01 3.93
3.92 3.89 4.02 4.17 3.72 4.09 3.78 4.02 3.73 3.52
3.91 3.62 4.18 4.26 4.03 4.14 3.72 4.33 3.82 4.03
Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами (I - 3.45-3.55; II - 3.55-3.65 и т. д.) и изобразить его графически, начертить гистограмму.
№ 13.3. Построить полигон частот распределения скорости оседания эритроцитов (СОЭ) у 100 человек.
Математическая статистика - это современная отрасль математической науки, которая занимается статистическим описанием результатов экспериментов и наблюдений, а также построением математических моделей, содержащих понятия вероятности. Теоретической базой математической статистики служит теория вероятностей.
В структуре математической статистики традиционно выделяют два основных раздела: описательная статистика и статистические выводы (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Основные разделы математической статистики
Описательная статистика используется для:
o обобщение показателей одной переменной (статистика случайной выборки);
o выявление взаимосвязей между двумя и более переменными (корреляционно-регрессионный анализ).
Описательная статистика дает возможность получить новую информацию, быстрее понять и всесторонне оценить ее, то есть выполняет научную функцию описания объектов исследования, чем и оправдывает свое название. Методы описательной статистики призваны превратить совокупность отдельных эмпирических данных на систему наглядных для восприятия форм и чисел: распределения частот; показатели тенденций, вариативности, связи. Этими методами рассчитываются статистики случайной выборки, которые служат основанием для осуществления статистических выводов.
Статистические выводы дают возможность:
o оценить точность, надежность и эффективность выборочных статистик, найти ошибки, которые возникают в процессе статистических исследований (статистическое оценивание)
o обобщить параметры генеральной совокупности, полученные на основании выборочных статистик (проверка статистических гипотез).
Главная цель научных исследований - это получение нового знания о больших класса явлений, лиц или событий, которые принято называть генеральной совокупности.
Генеральная совокупность - это полная совокупность объектов исследования, выборка - ее часть, которая сформирована определенным научно обоснованным способом 2.
Термин "генеральная совокупность" используется тогда, когда речь идет о большой, но конечную совокупность исследуемых объектов. Например, о совокупности абитуриентов Украины в 2009 году или совокупность детей дошкольного возраста города Ровно. Генеральные совокупности могут достигать значительных объемов, быть конечным и бесконечным. На практике, как правило, имеют дело с конечным совокупностями. И если отношение объема генеральной совокупности к объему выборки составляет более 100, то, по словам Гласса и Стэнли методы оценки для конечных и бесконечных совокупностей дают в сущности одинаковые результаты . Генеральной совокупностью можно называть и полную совокупность значений какого-то признака. Принадлежность выборки к генеральной совокупности является главным основанием для оценки характеристик генеральной совокупности по характеристикам выборки.
Основная идея математической статистики базируется на убеждении о том, что полное изучение всех объектов генеральной совокупности в большинстве научных задач или практически невозможно, или экономически нецелесообразно, поскольку требует много времени и значительных материальных затрат. Поэтому в математической статистике применяется выборочный подход, принцип которого показано на схеме рис. 1.2.
Например, по технологии формирования различают выборки рандомизированы (простые и систематические), стратифицированные, кластерные (см. Раздел 4).
Рис. 1.2. Схема применения методов математической статистики Согласно выборочным подходом использования математико-статистических методов может проводиться в такой последовательности (см. Рис. 1.2):
o с генеральной совокупности, свойства которой подлежат исследованию, определенными методами формируют выборку - типичную но ограниченное количество объектов, к которым применяют исследовательские методы;
o в результате методов наблюдений, экспериментальных действий и измерений над объектами выборки получают эмпирические данные;
o обработка эмпирических данных с помощью методов описательной статистики дает показатели выборки, которые называются статистиками - как и название дисциплины, кстати;
o применяя методы статистических выводов к статистик, получают параметры, которые характеризуют свойства генеральной совокупности.
Пример 1.1. С целью оценки стабильности уровня знаний (переменная X) проведено тестирование рандомизированной выборки 3 студентов объемом n. Тесты содержали по m заданий, каждое из которых оценивалось по системе баллов: "выполнено" "- 1," не выполнено "- 0. остались средние текущие достижения студентов X
3 рандомизированных выборка (от англ. Random - случайный) - это репрезентативная выборка, которая сформирована по стратегии случайных испытаний.
на уровне прошлых лет / ч? Последовательность решения:
o выяснить содержательную гипотезу типа: "если текущие результаты тестирования не будут отличаться от прошлых, то можно считать уровень знаний студентов неизменным, а учебный процесс - стабильным";
o сформулировать адекватную статистическую гипотезу, например, нуль-гипотезу Н 0 о том, что "текущий средний балл X статистически не отличается от среднего показателя прошлых лет / ч", то есть Н 0: X = / г, против соответствующей альтернативной гипотезы X Ф ^ ;
o построить эмпирические распределения исследуемой переменной X;
o определить (при необходимости) корреляционные связи, например, между переменной X и другими показателями, построить линии регрессии;
o проверить соответствие эмпирического распределения нормальному закону;
o оценить значение точечных показателей и доверительный интервал параметров, например, среднего;
o определить критерий для проверки статистических гипотез;
o выполнить проверку статистических гипотез на основе выбранных критериев;
o сформулировать решение о статистической нуль-гипотезы на определенном уровне значимости;
o перейти от решения о принятии или отклонении статистической нуль-гипотезы интерпретации выводов относительно гипотезы содержательной;
o сформулировать содержательные выводы.
Итак, если обобщить вышеперечисленные процедуры, применение статистических методов состоит из трех основных блоков:
Переход от объекта реальности к абстрактной математико-статистической схемы, то есть построение вероятностной модели явления, процесса, свойства;
Проведение расчетных действий собственно математическими средствами в рамках вероятностной модели по результатам измерений, наблюдений, эксперимента и формулировки статистических выводов;
Интерпретация статистических выводов о реальной ситуации и принятия соответствующего решения.
Статистические методы обработки и интерпретации данных опираются на теорию вероятностей. Теория вероятностей является основой методов математической статистики. Без использования фундаментальных понятий и законов теории вероятностей невозможно обобщения выводов математической статистики, а значит и обоснованного их использования для научных и практических целей.
Так, задачей описательной статистики является превращение совокупности выборочных данных на систему показателей - статистик - распределений частот, мер центральной тенденции и изменчивости, коэффициентов связи и тому подобное. Однако, статистики являются характеристиками, по сути, конкретной выборки. Конечно, можно рассчитывать выборочные распределения, выборочные средние, дисперсии и т. Д., Но подобный "анализ данных" имеет ограниченную научно-познавательную ценность. "Механическое" перенос каких-либо выводов, сделанных на основе таких показателей, на другие совокупности не является корректным.
Для того, чтобы иметь возможность переноса выборочных показателей или другие, или на более распространены совокупности, необходимо иметь математически обоснованные положения о соответствии и способности выборочных характеристик характеристиками этих распространенных так называемых генеральных совокупностей. Такие положения базируются на теоретических подходах и схемах, связанных с вероятностными моделях реальности, например, на аксиоматическом подходе, в законе больших чисел и т.д. Только с их помощью можно переносить свойства, которые установлены по результатам анализа ограниченной эмпирической информации, или на другие или на распространенные совокупности. Таким образом, построение, законы функционирования, использование вероятностных моделей, является предметом математической области под названием "теория вероятностей", становится сутью статистических методов.
Таким образом, в математической статистике используются два параллельных строки показателей: первая строка, что имеет отношение к практике (это выборочные показатели) и второй, основанный на теории (это показатели вероятностной модели). Например, эмпирическим частотам, которые определены на выборке, соответствуют понятия теоретической вероятности; выборочном среднем (практика) соответствует математическое ожидание (теория) и т.д. Причем, в исследованиях выборочные характеристики, как правило, являются первичными. Они рассчитываются на основе наблюдений, измерений, экспериментов, после чего проходят статистическое оценивание способности и эффективности, проверку статистических гипотез в соответствии с целями исследований и в конце принимаются с определенной вероятностью как показатели свойств исследуемых совокупностей.
Вопрос. Задача.
1. Охарактеризуйте основные разделы математической статистики.
2. В чем заключается основная идея математической статистики?
3. Охарактеризуйте соотношение генеральной и выборочной совокупностей.
4. Объясните схему применения методов математической статистики.
5. Укажите перечень основных задач математической статистики.
6. Из каких основных блоков состоит применения статистических методов? Охарактеризуйте их.
7. Раскройте связь математической статистики с теорией вероятностей.
Рассмотрим некоторые понятия и основные подходы к классификации погрешностей. По способу вычисления погрешности можно подразделить на абсолютные и относительные.
Абсолютная погрешность равна разности среднего измерения величины х и истинного значения этой величины:
В отдельных случаях, если это необходимо, рассчитывают погрешности единичных определений:
Заметим, что измеренной величиной в химическом анализе может быть как содержание компонента, так и аналитический сигнал. В зависимости от того, завышает или занижает погрешность результат анализа, погрешности могут быть положительные и отрицательные.
Относительная погрешность может быть выражена в долях или процентах и обычно знака не имеет:
или
Можно классифицировать погрешности по источникам их происхождения. Так как источников погрешностей чрезвычайно много, то их классификация не может быть однозначной.
Чаще всего погрешности классифицируют по характеру причин, их вызывающих. При этом погрешности делят на систематиче ские и случайные, выделяют также промахи (или грубые погрешности).
К систематическим относят погрешности, которые вызваны постоянно действующей причиной, постоянны во всех измерениях или меняются по постоянно действующему закону, могут быть выявлены и устранены.
Случайные погрешности, причины появления которых неизвестны, могут быть оценены методами математической статистики.
Промах - это погрешность, резко искажающая результат анализа и обычно легко обнаруживаемая, вызванная, как правило, небрежностью или некомпетентностью аналитика. На рис. 1.1 представлена схема, поясняющая понятия систематических и погрешностей и промахов. Прямая 1 отвечает тому идеальному случаю, когда во всех N определениях отсутствуют систематические и случайные погрешности. Линии 2 и 3 тоже идеализированные примеры химического анализа. В одном случае (прямая 2) полностью отсутствуют случайные погрешности, но все N определений имеют постоянную отрицательную систематическую погрешность Δх; в другом случае (линия 3) полностью отсутствует систематическая погрешность. Реальную ситуацию отражает линия 4: имеются как случайные, так и систематические погрешности.
Рис. 4.2.1 Систематические и случайные погрешности химического анализа.
Деление погрешностей на систематические и случайные в известной степени условно.
Систематические погрешности одной выборки результатов при рассмотрении большего числа данных могут переходить в случайные. Например, систематическая погрешность, обусловленная неправильными показаниями прибора, при измерении аналитического сигнала на разных приборах в разных лабораториях переходит в случайную.
Воспроизводимость характеризует степень близости друг к другу единичных определений, рассеяние единичных результатов относительно среднего (рис. 1.2).
Рис. 4.2..2. Воспроизводимость и правильность химического анализа
В отдельных случаях наряду с термином «воспроизводимость» используют термин «сходимость». При этом под сходимостью понимают рассеяние результатов параллельных определений, а под воспроизводимостью - рассеяние результатов, полученных разными методами, в разных лабораториях, в разное время и т. п.
Правильность - это качество химического анализа, отражающее близость к нулю систематической погрешности. Правильность характеризует отклонение полученного результата анализа от истинного значения измеряемой величины (см. рис.1.2).
Генеральная совокупность - гипотетическая совокупность всех мыслимых результатов от -∞ до +∞;
Анализ
экспериментальных данных показывает,
что большие по значению погрешности
наблюдаются реже
,
чем малые. Отмечается также, что при
увеличении числа наблюдений одинаковые
погрешности разного знака встречаются
одинаково
часто. Эти и другие свойства случайных
погрешностей описываются нормальным
распределением или уравнением
Гаусса,
которое
описывает плотность вероятности 
.
где х -значение случайной величины;
μ – генеральное среднее (математическое ожидание -постоянный параметр);
Математическое
ожидание
-
для
непрерывной случайной величины
представляет собой предел, к которому
стремится среднее
при неограниченном увеличении выборки.
Таким образом, математическое ожидание
является средним значением для всей
генеральной совокупности в целом, иногда
его называют
генеральным
средним.
σ 2 -дисперсия (постоянный параметр) - характеризует рассеяние случайной величины относительно своего математического ожидания;
σ – стандартное отклонение.
Дисперсия – характеризует рассеяние случайной величины относительно своего математического ожидания.
Выборочная совокупность (выборка) - реальное число (n) результатов, которое имеет исследователь, n = 3 ÷ 10.
Нормальный закон распределения неприемлем для обработки малого числа изменений выборочной совокупности (обычно 3 – 10) – даже если генеральная совокупность в целом распределена нормально. Для малых выборок вместо нормального распределения используют распределение Стьюдента (t – распределение) , которое связывает между собой три основные характеристики выборочной совокупности –
Ширину доверительного интервала;
Соответствующую ему вероятность;
Объем выборочной совокупности.
Перед обработкой данных с применением методов математической статистики необходимо выявить промахи (грубые ошибки) и исключить их из числа рассматриваемых результатов. Одним из наиболее простых является метод выявления промахов с применением Q – критерия с числом измерений n < 10:
где R = х макс - х мин – размах варьирования; х 1 – подозрительно выделяющееся значение; х 2 – результат единичного определения, ближайший по значению к х 1 .
Полученное значение сравнивают с критическим значением Q крит при доверительной вероятности Р = 0,95. Если Q > Q крит, выпадающий результат является промахом и его отбрасывают.
Основные
характеристики выборочной совокупности
.
Для выборки из n
результатов
рассчитывают среднее,
:
и дисперсию , характеризующую рассеяние результатов относительно среднего:
Дисперсия в явном виде не может быть использована для количественной характеристики рассеяния результатов, поскольку ее размерность не совпадает с размерностью результата анализа. Для характеристики рассеяния используют стандартное отклонение, S .
Эту величину называют также средним квадратичным (или квадратическим) отклонением или средней квадратичной погрешностью отдельного результата.
О тносительное стандартное отклонение или коэффициент вариации (V) вычисляют по соотношению
Дисперсию среднего арифметического вычисляют:
и стандартное отклонение среднего
Следует отметить, что все величины – дисперсия, стандартное отклонение и относительное стандартное отклонение, а так же дисперсия среднего арифметического и стандартное отклонение среднего арифметического – характеризуют воспроизводимость результатов химического анализа.
Используемое при обработке небольших (n<20) выборок из нормально распределенной генеральной совокупности t – распределение (т.е. распределение нормированной случайной величины) характеризуется соотношением
где t p , f – распределение Стьюдента при числе степеней свободы f = n -1 и доверительной вероятности Р=0,95 (или уровня значимости р=0,05) .
Значения t - распределения приведены в таблицах, по ним рассчитывают для выборки в n результатов величину доверительного интервала измеряемой величины для заданной доверительной вероятности по формуле
Доверительный интервал характеризует как воспроизводимость результатов химического анализа, так и – если известно истинное значение х ист – их правильность.
Пример выполнения контрольной работы № 2
Задание
При а нализе воздуха на содержание азота хроматографическим методом для двух серий опытов получены следующие результаты:
Решение :
Проверяем ряды на наличие грубых ошибок по Q-критерию. Для чего их располагаем результаты в ряд по убыванию (от минимума к максимуму или наоборот) :
Первая серия:
77,90<77,92<77,95<77,99<78,05<78,07<78,08<78,10
Проверяем крайние результаты ряда (не содержат ли они грубую ошибку).
Полученное значение сравниваем с табличным (табл.2 приложения). Для n=8, p=0,95 Q таб =0,55.
Т.к. Q таб >Q 1 расчет, левая крайняя цифра не является «промахом».
Проверяем крайнюю правую цифру
Q расч Крайняя
правая цифра так же не является ошибочной. Располагаем
результаты
второго ря
да
в порядке их возрастания: 78,02<78,08<78,13<78,14<78,16<78,20<78,23<78,26. Проверяем
крайние результаты опытов - не являются
ли они ошибочными. Q
(n=8,
p=0,95)=0,55.
Табличное значение. Крайнее
левое значение – не ошибочное. Крайняя
правая цифра (не является ли она
ошибочной). Т.е. 0,125<0,55 Крайнее
правое число не является «промахом». Подвергаем
результаты опытов статистической
обработке. Вычисляем
средневзвешенные результатов: Дисперсия
относительно среднего: Стандартное
отклонение: Стандартное
отклонение среднего арифметического: При
небольших (n<20)
выборках из нормально распределенной
генеральной совокупности следует
использовать t
– распределение, т.е. распределение
Стьюдента при числе степени свободы
f=n-1
и доверительной вероятности p=0,95. Пользуясь
таблицами t
– распределения, определяют для выборки
в n
– результатов величину доверительного
интервала измеряемой величины для
заданной доверительной вероятности.
Этот интервал можно рассчитать: Сравниваем
дисперсии
и
средние результаты
двух
выборочных совокупностей. Сравнение
двух дисперсий проводится при помощи
F-
распределения (распределения Фишера).
Если мы имеем две выборочные совокупности
с дисперсиями S 2 1
и
S 2 2
и
числами степеней свободы f 1 =n 1 -1
и f 2 =n 2 -1,
соответственно, то рассчитываем значение
F: F=S 2 1
/
S 2 2 Причем в
числителе всегда находится большая из
двух
сравниваемых выборочных дисперсий.
Полученный результат сравнивают с
табличным значением. Если F 0
>
F крит
(при р=0,95; n 1 ,
n 2),
то расхождение между дисперсиями значимо
и рассматриваемые выборочные совокупности
различаются по воспроизводимости. Если
расхождение между дисперсиями незначимо,
возможно сравнить средние x 1
и
х 2
двух выборочных совокупностей, т.е.
выяснить, есть ли статистически значимая
разница между результатами анализов.
Для решения поставленной задачи
используют t
– распределение. Предварительно
рассчитывают средневзвешенное двух
дисперсий: И
средневзвешенное стандартное отклонение
а
затем – величину t: Значение
t
эксп
сравнивают с t
крит
при числе степеней свободы f=f 1 +f 2 =(n 1 +n 2 -2)
и выборочной доверительной вероятности
р=0,95. Если при этом t
эксп
>
t
крит
,то
расхождение между средними
Контрольное
задание № 2
Анализ
воздуха на содержание компонента Х
хроматографическим методом для двух
серий дал следующие результаты
(таблица-1). 3.
Принадлежат ли результаты обеих выборок
и одной и той же генеральной совокупности.
Проверить по критерию Стьюдента t (р =
0,95; n
= 8). Таблица-4.2.1-
Исходные данные по контрольному заданию
№ 2 № варианта Ком-понент Методы математической статистики применяются, как правило, на всех этапах анализа исследовательских материалов для выбора стратегии решения задач по конкретным выборочным данным, оценивания полученных результатов. Для обработки материала использовались методы математической статистики. Математическая обработка материалов позволяет со всей четкостью выделить и оценить количественные параметры объективной информации, проанализировать и представить их в различных соотношениях и зависимостях. Они позволяют определить меру варьирования величин в собранных материалах, содержащих количественную информацию о некотором множестве случаев, часть из которых подтверждает предполагаемые связи, а часть не выявляет их, вычислить достоверность количественных различий между выделенными совокупностями случаев, получить другие математические характеристики, необходимые для верного истолкования фактов. Достоверность различий полученных в ходе исследования определялась по t-критерию Стьюдента. Рассчитывались следующие величины. 1. Среднее арифметическое значение выборки. Характеризует среднее значение рассматриваемой совокупности. Обозначим результаты измерений. Тогда: где У- сумма всех значений, когда текущий индекс i изменяется от 1 до n. 2. Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) , характеризующее рассеивание, разбросанность рассматриваемой совокупности относительно среднего арифметического значения. = (x max - x min)/ k где - среднее квадратическое отклонение хmaх - максимальное значение таблицы; хmin - минимальное значение таблицы; k - коэффициент 3. Стандартная ошибка средней арифметической или ошибка репрезентативности (m). Стандартная ошибка средней арифметической характеризует степень отклонения выборочной средней арифметической от средней арифметической генеральной совокупности. Стандартная ошибка средней арифметической вычисляется по формуле: где у - стандартное отклонение результатов измерений, n - объем выборки. Чем меньше m тем выше стабильность, устойчивость результатов. 4. Критерий Стьюдента. (в числителе - разность средних значений двух групп, в знаменателе - квадратный корень из суммы квадратов стандартных ошибок этих средних). При обработке полеченных результатов исследования использовали компьютерную программу с пакетом Excel. Исследование проводилось нами по общепринятым правилам, и осуществлялось в 3 этапа. На первом этапе был собран и проанализирован полученный материал по рассматриваемой проблеме исследования. Формировался предмет научного исследования. Проведенный анализ литературы на данном этапе позволил конкретизировать цель и задачи исследования. Проведено первичное тестирование техники бега на 30 м.<... class="gads_sm"> На третьем этапе был систематизирован полученный в результате научного исследования материал, обобщена вся имеющаяся информация по проблеме исследования. Экспериментальное исследование проводилось на базе ГУО «Ляховичская средняя школа», в общей сложности выборка составила 20 учащихся 6 классов (11-12 лет). Глава 3. Анализ результатов исследования В результате педагогического эксперимента нами были выявлен исходный уровень техники бега на 30 м учащихся в контрольной и экспериментальной группах (Приложения 1-2). Статистическая обработка полученных результатов позволила получить следующие данные (таблица 6). Таблица 6. Исходный уровень качества бега Как видно из таблицы 6 среднее количество баллов у спортсменов контрольной и экспериментальной группы статистически не отличаются, в экспериментальной группе средний бал составил 3,6 балла, а в контрольной 3,7 балла. T-критерий в обеих группах tэмп=0,3; Р?0,05, при tкрит=2,1; Результаты исходного тестирования показали, что показатели не зависят от обученности и носят случайный характер. По первоначальному тестированию показатели качества бега у контрольной группы немного превышали показатели экспериментальной группы. Но не было выявлено статистически достоверных различий в группах, что является доказательством идентичности учащихся контрольной и экспериментальной групп по технике бега 30м. За время эксперимента в обеих группах улучшились показатели, характеризующие эффективность техники бега. Однако это улучшение в разных группах участников эксперимента носило разный характер. В результате обучения выявлен закономерный небольшой прирост показателей в контрольной группе (3,8 балла). Как видно из Приложения 2 в экспериментальной группе был выявлен большой прирост показателей. Учащиеся занимались по предложенной нами программе, что достоверно улучшило показатели. Таблица 7. Изменения качества бега у испытуемых экспериментальной группы В ходе эксперимента мы установили, что повышенные нагрузки в экспериментальной группе дали значительные улучшения развития быстроты, нежели в контрольной группе. В подростковом возрасте целесообразно развивать быстроту путем преимущественного использования средств физического воспитания, направленных на повышение частоты движений. В возрасте 12-15 лет повышаются скоростные способности, в результате применения главным образом скоростно-силовых и силовых упражнений которые использованы нами в процессе проведения уроков физической культуры и внеклассных занятий спортивной секции баскетбола и лёгкой атлетики. При проведении занятий в экспериментальной группе велась строгая этапность усложнения и двигательного опыта. Своевременно велась работа над ошибками. Как показал анализ фактических данных, экспериментальная методика обучения оказало существенное изменение на качество выполнения техники бега (tэмп=2,4). Анализ полученных результатов в экспериментальной группе и сравнение их с данными, полученными в контрольной группе при использовании общепринятой методики обучения, дают основание утверждать, что предложенная нами методика повысит эффективность обучения. Таким образом, на этапе совершенствования методики бега 30м в школе мы выявили динамику изменения показателей тестирования в экспериментальной и контрольной группе. После проведенного эксперимента качество выполнение приема повысилась в экспериментальной группе до 4,9 баллов (t=3,3; Р?0,05). К концу эксперимента качество владения техникой бега в экспериментальной группе оказалось выше, чем в контрольной группе.
-
для первого ряда результатов.
-
для второго ряда результатов.
-
для первого ряда.
-
для второго ряда.
-
для первого ряда.
-
для второго ряда.
и
значимо и выборка не принадлежит одной
и той же генеральной совокупности. Если
t эксп <
t крит,
расхождение между средними незначимо,
т.е. выборки принадлежат одной и той же
генеральной совокупности, и, следовательно,
данные обеих серий можно объединить и
рассматривать их как одну выборочную
совокупность из n 1 +n 2
результатов.
Организация исследования